愛知教育大学2003年：放物線の焦点
問題
放物線 $${y=x^2}$$ の内側が鏡になっている。直線 $${y=1}$$ 上の点 A$${(a,\ 1)}$$ $${(0 < a < 1 )}$$ から光が$${y}$$ 軸に平行に真下に進むとき，放物線とぶつかる点をBとし，Bで反射した光が再び放物線をぶつかる点をCとする。
(1) 点Bにおける放物線の接線と$${y}$$ 軸とのなす角を $${\theta}$$ とするとき，$${\tan \theta}$$ の値を $${a}$$ を用いて表せ。
(2) 2点B,Cを通る直線は$${a}$$ に無関係な定点を通ることを示せ。
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まず図を描いてみましょう。
図を描けば，(2) の「定点」が焦点であるという問題だとわかるでしょう。というより，これが「焦点」の意味です。ただし，図が描けるためには，曲面で光がどのように反射するかを知っている必要があります。上の図には法線も描きましたが，これが入射角と反射角についての正しい図です。ただし，この問題では，法線はなくても計算できるようになっています。つまり，(1) が(2) への誘導になっているのです。
計算は後回しにして，まずは問題を鑑賞しましょう。
リンク先を開くと先ほど描いたのと同じ図が出ます。緑色の点Aは，ドラッグして緑の線分上を動くことができます。動かすと，確かに定点を通ることがわかります。
では，計算の概要を示しましょう。
(1) 点Bにおける放物線の接線と$${y}$$ 軸とのなす角を $${\theta}$$ とするとき，$${\tan \theta}$$ の値を $${a}$$ を用いて表せ。
Bにおける放物線の接線の傾きは，微分すれば $${2a}$$ と出ます。$${x}$$ 軸の正の方向とのなす角を$${\alpha}$$ とすると，$${\tan \alpha=2a}$$ です。このことと，法線が接線と垂直なこと，$${\alpha+\theta=90^{\circ}}$$であることから，符号も考慮して$${\tan \theta=\dfrac{1}{2a}}$$ となります。（法線はなくても求められますが，あったほうが考えやすいでしょう）
(2) 2点B,Cを通る直線は$${a}$$ に無関係な定点を通ることを示せ。
いくつか方法があるでしょう。たとえば，法線の方程式を求め，法線に関する点Aの対称点Dを求めれば，Dは直線BC上にあるので，B,Dを通る方程式を求めればよいでしょう。(1)がなくて(2)だけなら，そのようにして解くところでしょうか。
しかし，(1) が導入になっていると思えば，次のように考えられます。
直線BCが$${x}$$軸の正の方向となす角を $${\beta}$$ とすると，$${\beta=\alpha-\theta}$$ です。
(1) で $${\tan \theta=\dfrac{1}{2a}}$$ が求められており，$${\tan \alpha=2a}$$ ですから，tan の加法定理を使えば，$${\tan \beta=a-\dfrac{1}{4a}}$$ と算出されます。
したがって，直線BCの方程式は $${y=\left(a-\dfrac{1}{4a} \right)x+\dfrac{1}{4}}$$ となり，これを$${a}$$ についての恒等式と考えれば，定点$${\left(0, \ \dfrac{1}{4} \right)}$$ を通ることが言えます。
図はCinderella（CindyJS）で作成しています。
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