数学で最も議論を呼んだ公理とそのパラドックス。
米国のMedium Daily Digestは2022年03月07日に、数学は集合論のツェルメロ・フレンケル公理(Zermelo-Fraenkel axioms of set theory)を基礎としている。その中で、長い間、非常に議論を呼んできたものがある。それは「選択の公理(The axiom of choice)」と呼ばれるものである。
そこでkucoは、それが何を前提とし、どのような意味を持つのかを見ていくことにすると報告した。
https://time-az.com/main/detail/76425
「選択の公理(The axiom of choice)」は、空でない集合の集まりには、その集まりの各集合をその要素の一つに対応させる選択関数が存在することを述べている。つまり、{{0,1,2}, {10}, {5,0,2}}という集合があるとする。すると、選択関数は例えば{0,1,2}を0に、{10}を10に、{5,0,2}を0に対応させるようなものである。
もし、あなたが今までに、一体なぜこれが公理なのかと自問しているなら、それはあなたがそれを理解したことを意味する。私たちは、いったいなぜこの公理が物議をかもすのか、と問うようにするつもりである。それは、あなたが本当に理解していることを意味する。
実際、多くの場合、選択関数を得るために選択の公理を呼び出す必要はない。例えば,正の整数の空でない部分集合からなるコレクションでは,それぞれを最小の要素に対応させることができる.
問題は、実数の部分集合の場合である。実数のすべての(空でない)部分集合の場合,選択関数はどのようになるのだろうか？集合(-∞, x] には最小値がない(-∞は実数ではない)ので,最小値をとることはできない。実際,そのような場合,選択関数は存在しないことが知られている.
選択の公理が完全には自明でない理由を理解するために、バートランド・ラッセルのアナロジー(Bertrand Russell’s analogy.)を使うことにしよう。
一組の靴の集まりに対して、「常に左の靴を選ぶ」という選択関数を考えるのは簡単だ。ここで、靴を靴下に置き換えてみよう。では、靴を靴下に置き換えた場合、どちらを選べばいいのだろうか？
要は、ある点では互いに区別がつかないような要素を持つ集合があるかもしれない、ということだ。そうすると、どちらか一方を選ぶことが問題になる。
バナッハ・タルスキーのパラドックス(Banach-Tarski paradox)
バナッハ・タルスキーのパラドックスは、どんな3次元の球でも複製できる。つまり、1つの球から2つの球を作り、それぞれを最初の球と同じ大きさにできる。というだけの話だと思っている人が多いようです。しかし、これは選択公理とは無関係の事実である。数学では、異なる大きさの集合の間に簡単に双対を構成することができるからである。例えば,x ↦ 2x は,区間 [0,1] と [0,2] の間の双射で,逆は x ↦ x/2 になる。
バナッハ・タルスキーのパラドックスとは、球を有限個の破片に砕き、それぞれを回転させたり鏡に映したりして、他の大きさの球を得ることができるというものである。原子の大きさの球を選んで、太陽の大きさの球に変えられる可能性があるのである。しかも、球である必要はないのである。空でない有限のオープンな(「境界」のない)3次元の集合であれば、2つとも可能なのです。
なぜ、先ほどの誤解よりも信じがたいのだろうか？なぜなら、回転と鏡映は非常に特殊な双射だからです。これらは、絶対に体積を保存しなければならない。文字通り、ある3次元の物体を回転させたり、鏡に映したりすることを想像してみてください。その際、体積はどこで変化するでしょうか？そう、どこにもないのだ。
これは、集合の体積を測る関数を定義しようとする測度論で、本当に問題となった。回転や鏡映に対して不変な関数にしたい。しかし、そうはいかない。
しかし、測度論は、測度が作用する集合を制限することによって、最終的にこの問題を解決した。そして、それが確率論の大きな発展につながった。ありがとう、「選択の公理」。
でも、ちょっと待って。なぜ、実生活でこれができないのだろう？例えば1グラムの金を手に入れたら、それをちょっと切って、部品を回転させたり鏡に映したりして、1トンの金にまとめられないだろうか？おそらく無理でしょう。なぜなら、現実の私たちは原子に縛られていて、数学のように繊細に物を切ることができないからです。一攫千金を狙うようなことはできないのでaru。
では、選択公理はどのような役割を担っているのだろうか？正確には非常に複雑で、きちんと説明するには一冊の本が必要だ。ここでは、証明に必要な定義すらクリアーできなかった。
は一冊の本が必要なら、それを実現すべきで、それができないなら、kucoは、この問題に挑戦してはいけなかった。
未来を予測する(Predicting the future)
選択の公理に由来するパラドックスは、バナッハ・タルスキーだけではない。他にもたくさんある。非常に興味深いのは、実関数の値を予測するために、ほとんど間違いのない方法がある、ということである。つまり、ある実関数fが与えられ、(-∞, b)上の値しか知らないとすると、我々の戦略は、数え切れないほど多くの点b以外のすべての点での値f(b)を正しく推測するのである。
数え切れないとは何かというと,正の整数の大きさである。これは大きいと思うかもしれないが(実際無限大)、すべての実数の大きさに比べれば、無視できる大きさである。どういうことだろう？例えば,実数の区間[0,1]の標準尺度は1であるが,すべての整数の標準尺度は0である.なぜそれが重要なのだろうか？標準モデルでは,私たちがある可算集合から要素を選ぶ確率は0であることを意味する.
これをそのままパラドックスに置き換えると、我々は以前の値をすべて知っていることによってのみ、任意の関数の値を予測することができ、間違った予測の確率は0であると言うことになる。
これはかなり非常識な話だ。つまり、関数は以前の値に依存する必要は全くないのである。連続関数ではなく、ANY関数なのである。
ここでも選択公理の役割は非常に専門的で、この記事の範囲を超えている。
つまり、この記事の範囲を超えなければならないなら、なぜ選択の公理が必要なのか？
なぜ選択の公理を残すのか？(Why keep the axiom of choice?)
なぜ今ある数学の公理を維持するのでしょう？数学をより強くするため。
より多くの公理があれば、より多くのことを証明できる。
矛盾に近いものもあるが、それは代償に過ぎないかもしれない。
選択公理は、物事を証明することを可能にするだけでなく、より簡単にする。
関数解析の理論全体は、ハーン・バナッハの定理の上に成り立っているが、その証明には、選択公理に相当するもの、つまりゾーンのレンマ(Zorn’s lemma)が必要である。抽象代数学では、すべてのベクトル空間には基底があること、あるいは、最大イデアルが必ず存在することがよく使われる。これも選択公理の帰結である。このように、選択公理が数学のいくつかの理論にいかに不可欠であるかは、数え切れないほどの例がある。だから、今のところは、このままにしておこう。
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