さるぶつ道場 波の基本的な性質1解答

壁で反射する縦波がつくる定在波

　問題はこちらです．

　(1)変位に注目すると，剛体の壁で縦波は固定端反射をします．固定端反射における作図はこちらをご覧ください，(3)壁で固定端反射することに留意して，$${x=L}$$ での境界条件を考えましょう．(4) $${0<x<L}$$ において入射波と反射波により定在波ができます．したがって，(5)では問われている点は節であることを読み取りましょう．(6)壁で位相がπずれていることに注意してください．薄膜などの光の干渉を思い出しましょう．

(1)

　図4のように，固定端反射をするときは， $${x>L}$$ の波を $$(L,0)}$$ を中心に点対称に移動させればよいので ③ ．

図4

(2)

　図5のように，波は反射して位置 $${x}$$ に到達するまでの間に $${L+L-x=2L-x}$$ 進むので，波源を出た波が $${x}$$ に到達する時間は

$${\frac{2L-x}{v}}$$

図5

(3)

　$${x=L}$$ で固定端反射をするので，$${y_1}$$ ，$${y_3}$$ の位相は $${x=L}$$ で $${\pi}$$ ずれる．

$$
\begin{array}{}
2\pi f\left(t-\frac{L}{v}\right)+\pi&=&2\pi f\left(t+\frac{L}{v}+\delta \right)\\
\delta&=&-\frac{2L}{v}+\frac{1}{2f}
\end{array}
$$

(4)

　(3)より，

$$
\begin{array}{}
y_3&=&A\sin 2\pi f\left(t+\frac{x}{v}-\frac{2L}{v}+\frac{1}{2f}\right)\\
&=&A\sin \left\{2\pi f\left(t-\frac{2L-x}{v}\right)\right\}\\
&=&-A\sin 2\pi f\left(t-\frac{2L-x}{v}\right)
\end{array}
$$

　$${0<x<L}$$ における合成波は，

$$
\begin{array}{}
y&=&y_1+y_3\\
&=&A\sin 2\pi f\left(t-\frac{x}{v}\right)-A\sin 2\pi f\left(t-\frac{2L-x}{v}\right)
\end{array}
$$

　$${\sin A-\sin B =2\cos \frac{A+B}{2}\sin \frac{A-B}{2}}$$ を用いて，

$$
\begin{array}{}
y&=&2A\cos 2\pi f \frac{t-\frac{x}{v}+t-\frac{2L-x}{v}}{2}\sin 2\pi f \frac{t-\frac{x}{v}-\left(t-\frac{2L-x}{v}\right)}{2}\\
&=&2A\cos 2\pi f \frac{2t-\frac{2L}{v}}{2}\sin 2\pi f \frac{2\frac{L-x}{v}}{2}\\
&=&2A\cos 2\pi f\left( t-\frac{2L}{v}\right)\sin 2\pi f \frac{L-x}{v}\ \cdots ①
\end{array}
$$

　ゆえに，(あ) $${2}$$　(い) $${t-\frac{L}{v}}$$　(う) $${\frac{L-x}{v}}$$ 

(5)

　①式において，$${2\pi f\frac{L-x}{v} }$$ が $${\pi}$$ の整数倍のときに，$${\sin 2\pi f \frac{L-x}{v}=0}$$  (定在波の節)になる． $${n}$$ を整数として，

$$
\begin{array}{}
2\pi f\frac{L-x}{v} &=&\pi n \\
L-x&=&\frac{v}{2f}n\\
x&=&L-\frac{v}{2f}n
\end{array}
$$

　$${0<x<L}$$ において壁に最も近いのは，$${n=1}$$ のときである．

$${x=L-\frac{v}{2f}}$$

(6)

　$${x=L}$$ で固定端反射をするので， $${2L}$$ が波長 $${\frac{v}{f}}$$ の 倍のときに $${x<0}$$ で波は弱めあう．

$$
\begin{array}{}
\frac{v}{f}m&=&2L\\
f&=&\frac{v}{2L}m
\end{array}
$$

　次回は4月8日(土)に更新します．