さるぶつ道場 波の基本的な性質1

壁で反射する縦波が作る定在波

　図1は，原点を波源として $${x}$$ 軸上を伝わる振幅 $${A}$$ ，振動数 $${f}$$ ，速さ $${v}$$ の縦波を横波表示したもので，$${y}$$ 軸は媒質の変位を表しており，波源から $${x}$$ 軸正の向きに進む波は $${y_1=A\sin 2\pi f\left(t-\frac{x}{v}\right)}$$ ，負の向きに進む波は $${y_2=A\sin 2\pi f\left(t+\frac{x}{v}\right)}$$ で表される．$${x=L}$$ には剛体の壁があり，波は反射して $${x}$$ 軸負の向きに進むが，波源は反射波に影響しないものとする．また，$${L}$$ は波長に比べて十分大きいものとする．

図1

(1) $${0<x<L}$$ において，$${x}$$ 軸正の向きに進む波のある時刻の変位が図2のように表されるとき，反射波の変位はどのように表されるか．図3の選択肢①～④の中から選べ．

図2

図3

(2) 波源から $${x}$$ 軸正の向きへ進む波が，壁で反射した後に位置 $${x}$$ に達するまでの時間を求めよ．
(3) 壁で反射して負の向きに進む波を $${y_3=A\sin 2\pi f\left(t+\frac{x}{v}+\delta\right)}$$ としたとき， $${\delta}$$ を求めよ．
(3) $${0<x<L}$$ における入射波と反射波の合成波の変位 $${y_4}$$ は，$${y_4=y_1+y_3=}$$(あ)$${A\cos2\pi f}$$ (い) $${\sin 2\pi f}$$(う) で与えられる．(あ)～(う)に入る数式を求めよ．なお必要ならば下の公式を用いてよい．

$$
\begin{array}{}
\sin A+\sin B &=&2\sin \frac{A+B}{2}\cos \frac{A-B}{2}\\
\sin A-\sin B &=&2\cos \frac{A+B}{2}\sin \frac{A-B}{2}
\end{array}
$$

(5) $${0<x<L}$$ には常に変位が0の点がいくつかあった．変位が0の点のうち，壁に最も近い点の座標を求めよ．
(6) $${x<0}$$ における全ての点で，波の変位が0になるときの $${f}$$ を，自然数 $${m}$$を用いて表せ．

　解答はこちらです．