さるぶつ道場 波の基本的な性質2解答

水面を伝わる波の干渉

　問題はこちらです．

　波の基本的な性質を確認しながら解きすすめましょう．また，図3のような腹線，及び節線を図中に書き込むと見通しがよくなります．(5)は図を参考に，三平方の定理を用いて解きましょう．

(1)

$${v=\frac{\lambda}{T}}$$

(2)

　図3より，4本

図3

(3)

　振動しない点のうち原点から見て遠い方の点をP $${(0,y)}$$ とする．2つの波源から点Pまでの距離の差は $${\overline {\rm AP}-\overline {\rm OP}=\frac{1}{2}\lambda}$$ である．点Aの座標は $${(2\lambda,0)}$$ なので，

$$
\begin{array}{}
\overline {\rm AP}-\overline {\rm OP}&=&\frac{1}{2}\lambda\\
\sqrt{(2\lambda)^2+y^2}-y&=&\frac{1}{2}\lambda\\
\sqrt{(2\lambda)^2+y^2}&=&y+\frac{1}{2}\lambda\\
4\lambda^2+y^2&=&y^2+\lambda y+\frac{1}{4}\lambda^2\\
\lambda y&=&4\lambda^2-\frac{1}{4}\lambda^2\\
y&=&\frac{15}{4}\lambda
\end{array}
$$

(4)

　図4のように，$${\overline {\rm OA}}$$ の中点をQ $${(\lambda ,0)}$$ とする． △OQB’について三平方の定理 $${\overline {\rm OQ}^2+\overline {\rm QB'}^2=\overline {\rm OB'}^2}$$ を用いると，

$${\lambda^2+(\sqrt 3 \lambda +u\Delta t)^2=(2\lambda +v\Delta t)^2}$$

　$${(\Delta t)^2}$$ の項は無視できるので，

$$
\begin{array}{}
\lambda^2+3 \lambda^2 +2\sqrt 3 \lambda u \Delta t&=&4\lambda^2 +4\lambda v\Delta t\\
2\sqrt 3 u &=&4 v\\
u&=&\frac{2}{\sqrt 3}v
\end{array}
$$

図4