さるぶつ道場 仕事と力学的エネルギー2解答

粗い水平面上を数回往復して静止するおもり

　問題はこちらです．

　摩擦力のような非保存力が仕事をすると，力学的エネルギーが変化します．摩擦力のした仕事が負であることと，物体が進んだ距離の表し方に注意して解き進めましょう．因数分解の公式 $${A^2-B^2=(A+B)(A-B)}$$ に気付かないと大変苦労するので，問題演習を通して計算のスキルを身につけましょう．
　(2)では，おもりが折り返すとき一旦静止する(速度が０になる）ことに注目しましょう．静止するので最大摩擦力を考えなければなりません．弾性力と最大摩擦力の大きさを比較することで，折り返す回数を求めてください．ただし，折り返す回数は整数であることに気をつけて，解答を書くようにしましょう．

(1)点Ｐから点Ｑまでのおもりの移動距離は $${x_0-x_1}$$ なので，摩擦力のした仕事 $${W}$$ は，

$${W=-\mu mg(x_0-x_1)}$$

　したがって，点Ｐでの力学的エネルギー $${U_1}$$ と，点Ｑでの力学的エネルギー $${U_2}$$ の差が，動摩擦力がした仕事 $${W}$$ なので，

$${W=U_2-U_1}$$
$${-\mu mg(x_0-x_1)=\frac{1}{2}kx_1^2-\frac{1}{2}kx_0^2}$$
$${-\mu mg(x_0-x_1)=\frac{1}{2}k(x_1^2-x_0^2)}$$
$${-\mu mg(x_0-x_1)=\frac{1}{2}k(x_1+x_0)(x_1-x_0)}$$
$${x_1+x_0=\frac{2\mu mg}{k}}$$
$${x_1=-x_0+\frac{2\mu mg}{k}}$$

(2) $${N}$$ 回目に折り返すときのばねの伸びを $${x_N}$$ とすると，弾性力 $${f_s}$$ が最大摩擦力 $${f_{Max}}$$ より小さくなるときにおもりは静止する．$${N}$$ 回目に折り返すときの弾性力は $${f_s=kx_N}$$ なので，

$${kx_N<\mu _0 mg=\frac{5kx_0}{16mg}\cdot mg}$$
$${kx_N<\frac{5}{16}x_0}$$

$${\mu=\frac{1}{5}\mu _0=\frac{kx_0}{16mg}}$$なので，(1)の結果より，

$${x_1=\frac{kx_0}{16mg}\cdot \frac{2mg}{k}-x_0=-\frac{7}{8}x_0}$$

　次に静止する位置を $${x_2}$$ は，

$${-\mu mg(x_2-x_1)=\frac{1}{2}kx_2^2-\frac{1}{2}kx_1^2}$$
$${x_2=-x_1-\frac{2\mu mg}{k}=\frac{6}{8}x_0}$$

　１回折り返すごとに $${\frac{1}{8}x_0}$$ ずつ伸びが小さくなるので $${x_N}$$ は，

$${x_N=\left(1-\frac{1}{8}N\right)x_0}$$

　$${x_N<\frac{5}{16}x_0}$$となるとき，おもりは静止するので，

$${\left(1-\frac{1}{8}N\right)x_0<\frac{5}{16}x_0}$$
$${N>5.5}$$

　$${N}$$ は整数なので6回目に折り返すときに静止する．位置は $${\frac{1}{4}x_0}$$ である．

　詳しい説明はテキストを参考にしてください．