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Photo by bokonyan

ガチャ排出率に学ぶちょっとした確率の計算2〜スクスタ初夢ガチャを例に〜

春乃はじめ

あけましておめでとうございます。新年といえば様々なスマホゲームでガチャに使うアイテムが大盤振る舞いされると共にオトクなガチャが開催されることが多いのではないかと思います。

前回、ガチャを使って確率の勉強をしたので、今回もしてみようと思いました。題材はこちら。

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「ラブライブ！スクールアイドルフェスティバル ALL STARS（スクスタ）」で2021初夢ガチャが開催されています。

・通常5%で排出されるURが1枚確定
・3回まで引き直すことができる

というのが特徴です。

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ひとつ気をつけなければならないのは、確定枠以外は通常5%で排出されるはずのURの排出率がなぜか3%に下方修正されているということです。確定枠があるから？？

さて、このガチャ、3回のリトライを駆使して、どれくらいの戦果で退くのがいいのでしょう。あるひとりの声優が挑みました。

虹ヶ咲学園スクールアイドル同好会、中須かすみ役の相良茉優さんです。せっかく2枚抜きできたのに、ファンに進退を問い、背中を押され、

……お疲れ様でした。「引く」は「退く」の間違いだそうです。

問題です。相良さんが3回リトライ可能な初夢ガチャを3回する中でUR3枚抜き以上できる確率はどれくらいでしょうか。但し、URの中身は問わず、URを3枚以上引いた時点でリトライせずに確定するものとする。

まずは1回の試行について考えてみます。10枚のうち、1枚は確定枠なので、残り9枚のうち2枚以上のURを引けるかどうかという話になります。前回学んだ計算式を使いましょう。

1枚UR確定で残り9枚について3%のURをn枚引く確率は、
1×0.03^(n)×0.97^(9-n)×9C(n)×100
で表すことができます（9C(n)は9の中からn個選ぶ場合の組み合わせの数）。

計算すると、n=0、URが確定枠のみの確率は76.0%に、n=1、相良さんのスクリーンショットのようになる確率は21.2%に、n=2、相良さんが狙った3枚抜きになる確率は2.6%に、n=3、もう少し欲張って4枚抜きする確率は0.2%になります。n>4になるとほぼ0%で、四捨五入の都合でちょうどn=3までで100%になるので、3枚抜き以上できる確率を2.8%、できない確率を97.2%とします。

……この時点でそこそこ厳しい挑戦であることがわかります。ま、まぁ、3回リトライ可能なガチャが3回できますから。最大12回できますから。12回中、少なくとも1回3枚抜き以上する確率であれば、全体から1回も3枚抜き以上できない確率を差し引けばよいです。試しに計算してみると、1回も3枚抜き以上できない確率は97.2%を12回引く確率で71.1%なので、少なくとも1回3枚抜き以上する確率は28.9%になります。

しかし、今回はリトライがあります。3回リトライする中で3枚抜きしてしまえば以降リトライはしないので試行回数が変動します。それが3回。どうなるのでしょうか。うまく計算する方法もあるような気がしますが、泥臭く場合わけしても何とかなりそうです。

1回目のガチャで3枚抜き以上できる確率を求めます。リトライなしで抜ける確率は先に求めた通り2.8%です。1回目のリトライで抜ける確率は97.2%を1回引いたうえで2.8%を引くことになるので2.72%になります。2回目のリトライで抜ける確率は97.2%を2回引いたうえで2.8%を引くことになるので2.65%になります。3回目のリトライで抜ける確率は97.2%を3回引いたうえで2.8%を引くことになるので2.57%になります。それぞれのリトライが独立の関係にあり、1回目のガチャで3枚抜き以上してしまえば、2回目と3回目のガチャはどうであっても条件を満たすので、それぞれを足せばよく、10.74%になります。

1回目のガチャで3枚抜き以上できず、2回目のガチャで3枚抜き以上できる確率を求めます。1回目のガチャで3枚抜き以上できなかったということは、97.2%を4回引いていることになるので、89.3%になります。全体から先の10.74%を引いても求めることができそうです。あれ。それでもいいのか。2回目のガチャで3枚抜き以上できる確率は10.74%になります。3回目のガチャはどうであっても条件を満たすので、1回目の89.3%と2回目の10.74%を掛け合わせて9.59%になります。

1回目と2回目のガチャで3枚抜き以上できず、3回目のガチャで3枚抜き以上できる確率を求めます。同様に計算すると、1回目の89.3%と2回目の89.3%と3回目の10.47%を掛け合わせて8.56%になります。

1回目のガチャで3枚抜き以上すること、2回目のガチャで初めて3枚抜き以上すること、3回目のガチャで初めて3枚抜き以上することは独立の関係なので、それぞれを足せばよいです。

10.74+9.59+8.56=28.89

28.9%になります。

えっ、リトライを考慮しなかった「12回中、少なくとも1回3枚抜き以上する確率」と同じじゃん！！！

というオチでした。実は計算途中で何となくそんな気がしていました。リトライが止まったということはすでに3枚抜き以上したということ。リトライを考慮しようがしよまいが消化試合の試行の結果がどうであれ「少なくとも1回3枚抜き以上する確率」に影響を与えないので、計算結果は変わらないんですね。なるほど。

というわけで、遠回りなめんどくさい計算をしてしまいましたが、相良さんは残念ながら30%弱を引けなかったという結論になりました。

それはそれとして、アンケートの元になったスクリーンショットの時点で、すでに2回リトライを済ませているので、局所的にはファンからは「いや、お前なら2.8%いける！」と背中を押されていたことになります。無謀な賭け……！ アンケート結果がどうであれ、問うた時点で回すことを決めていただろうとは思います。相良さんのエンターテイナーとしての心意気に乾杯。

ちなみに2枚抜き以上については、3回リトライすればガチャ1回につき66.6%で引けるはずです。みなさんだったらどこまで攻めますか。どこで退きますか。素敵な初夢が見られますように。

※計算が間違っていたらこっそり教えてください。

余談

相良さんを反面教師に、2枚抜き撤退方針でガチャガチャ。

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有難いことに3回すべてで2枚抜き以上をすることができ、2回目は3枚抜きもできました。3回目はリリース直後から壊れ性能と名高い水ゴリラことナチュラルVo果南をついに入手することもできました。大満足！ よい初夢が見られました。

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