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利害を最適化させる数学の誕生:ジョン・フォン・ノイマン
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利害を最適化させる数学の誕生:ジョン・フォン・ノイマン

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※この記事は2022年3月8日にstand.fmで放送した内容を文字に起こしたものだ。


今日も数学史の解説をしていこう。
理論とか定理がよく分からなくても、どんな経緯でそれらが発見、完成されていったのか、その歴史だけでも知ると、数学への理解はもちろん、他の科学とのつながりもよく理解できる。実際、数学史は、科学の発展と密接な関係にある。
その世界観を少しでも知ってもらうためにも、この解説が役にたれば嬉しい。

今回紹介するのは、20世紀に活躍したハンガリー出身の数学者ジョン・フォン・ノイマンについてだ。
銀行家の父と実業家の娘との間に生まれた裕福な家庭出身のノイマンは、幼い頃から暗記や計算が得意で、たくさんの言語を覚えたり、8桁の数を暗算で割り算したりと、非常に賢い人間で知られている。

彼の生涯の活動は、量子論への貢献、「フォン・ノイマン多元環」でも知られる演算子理論の研究、核兵器開発への貢献、「フォン・ノイマンアーキテクチャ」と呼ばれるコンピュータアルゴリズムの開発など、功績の多さは尋常じゃない。
そんな、多くの領域に影響を与えたノイマンだが、今回はその功績の中でも特に、「ゲーム理論」の研究について詳しく話そうと思う。

「ゲーム理論」という言葉、おそらく皆さんも一度や二度聞いたことはあるんじゃないだろうか?
ゲーム理論というのは、一言で言うと「駆け引きにおける利害の最適化を図るための数学の一分野」のことだ。
トランプやチェス、将棋、ポーカーといった遊戯などはもちろん、今では、経済学、生物学、コンピュータ科学など、あらゆる分野に応用されている。

初期の研究は、1920年代にノイマンが「ゼロサムゲーム」と言うゲームを調べていたことからはじまる。これは、競合する二人が選択をし結果として一方が得になり、相手は同額の損をするという類のゲームだ。全員の利得の総和がゼロになるから「ゼロサム」と呼ばれる。

そして1928年、ドイツの数学誌に掲載された「戦略ゲームの理論について」という論文で、ノイマンはどんな2人ゼロサムゲームでも、両者にはそれぞれ最適戦略があることを言う「最小最大原理」という原理を証明した。この論文では、二人に限らずn人ゲームの正式な定義も行なっていて、これを機に初めて、ゲーム理論という学問が誕生することになる。

1937年になると、ゲーム理論が経済学の分野にも応用できることを示す論文が発表され、これが大きな影響を与える。
例えば、価格と費用や需要と供給といった関係を不等式で表してみたりなど、今まであやふやだった経済現象を数学的に説明するための定量的手法を色々と導入している。
他にも、利率というのは、ある経済区域の資本量よりも成長率と関係しているという主張がこの論文では示されていて、こうした研究の数々が経済の世界に大きな影響を与えていったのだ。

1944年には、ノイマンとドイツの経済学者オスカル・モルゲンシュテルンという人物との二人で『ゲーム理論と経済行動』という共著を発表。ここで改めて、ゲーム理論とは一体どんな学問なのか?そして、それが経済現象とどう関わっているのか?などについて詳しく述べられている。この著作によって、経済学理論の国際的活動にも影響を及ぼすことになった。

ノイマンは生涯にわたってゲーム理論に関心を持ち続け、亡くなるおよそ4年には、『ゲーム理論論集』と題した共著を発表している。章ごとに違う著者と執筆をしていて、例えば、博士課程の学生二人と書いた「ポーカーの二変種」という章では、ポーカーのような偶然と戦略が組み合わさった状況にもゲーム理論が使えることを明らかにしている。

ゲーム理論はこんな感じで、駆け引きの起こるあらゆる学問に応用することができる。その数学的基礎を初めて厳密に確立したノイマンの功績は非常に大きい。
今ではノイマンのことを、20世紀で最もよく知られた数学者と呼ぶこともあるようだ。

数学にもこうした歴史があると分かると、今まで見てきた理論や定理、数学での考え方にも親しんでもらえると思う。
今回伝えきれてないノイマンの功績もたくさんあるので、興味があったら調べてみてほしい。

数学を現代化した予言者たち―数と論理からコンピュータへ (数学を切りひらいた人びと)

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